ROTEIRO DAS ATIVIDADES

A execução das atividades postadas no mês de Agosto necessita dos textos encontrados no mês de Julho. É aconselhável pois, que o aluno faça uma leitura prévia dos textos para depois partir às atividades.  No entanto, cada atividade possui links que direcionam o usuário automaticamente aos textos necessários.

Faça uso de uma calculadora científica, pois além de agilizar seus cálculos, dará maior precisão ao estudo. Além disso, a tabela de senos, cossenos e tangentes fornecida, contém apenas ângulos inteiros, não sendo suficiente para a precisão desejada em algumas atividades.

Publique seus resultados no campo destinado aos “comentários” do blog. Não esqueça de colocar seu nome. Claro que o desenvolvimento matemático não necessita publicação, uma vez que a linguagem matemática não é favorecida pelo teclado e programas convencionais. Se quiser submeter as atividades à avaliação por parte do professor, siga o modelo¹ a seguir e entregue num dos endereços² abaixo. Ao fazer a entrega, receberá o gabarito completo via email.

¹ Modelo para encaminhamento à avaliação:

Desenvolvimento das atividades de matemática postadas no

“Portal da Matemática”

Aluno(a): _______________________________

Email: __________________________________

________________________________________
Atividade 01

a) Resposta:

    Cálculos:

b) Resposta:

c) Resposta:

d) Resposta:

    Cálculos:

________________________________________
Atividade 02

Resposta:

Cálculos:

________________________________________
Atividade 03

a) Resposta:

b) Resposta:

c) Resposta:

d) Resposta:

________________________________________
Atividade 04

a) Resposta:

    Cálculos:

b) Resposta:

    Cálculos:

________________________________________
Atividade 05
a) Resposta:

    Cálculos:

b) Resposta:

________________________________________
Atividade 06

a) Cálculos:

b) Resposta:

    Cálculos:
________________________________________

Coincidência ou Ciência I

a) Resposta:

    Cálculos:

b) Resposta:

    Cálculos:

c) Resposta:

    Cálculos:

d) Justificativa:
________________________________________

Coincidência ou Ciência II

a) Resposta:

    Cálculos:

b) Comentário:

________________________________________
Coincidência ou Ciência III

a) Cálculos:

b) Conclusão:
________________________________________

Coincidência ou Ciência IV

a) Cálculos:

    Margem percentual de erro:
________________________________________
Coincidência ou Ciência V
Verificação matemática:
Posicionamento pessoal:
________________________________________
² Endereços para entrega:

● mauro@universitario.net
● Colégio João Paulo I

   Av Assis Brasil, 53

   CEP 91010-004

   Porto Alegre / RS

   Brasil
● Ou qualquer sede do pré-vestibular UNIVERSITÁRIO de Porto Alegre.

QUESTIONÁRIO

Queridos,

Enviem suas respostas para os emails:
mauro@universitario.net
mauro.weigel@acad.pucrs.br

1) No desenvolvimento do trabalho, ficou notório que os alunos têm destrezas distintas na manipulação da internet, como por exemplo, pelo fato de alguns terem esquecido de se identificar nos comentários. A que você atribui esse tipo de falha? Será que foi um descuido ou talvez falte intimidade para trabalhar com Blogs?

2) Algumas respostas contém erros primários e as vezes ingênuos. Por ser uma atividade efetuada via internet, é muito simples de se fazer uma consulta no Google para saber do que trata determinado conceito, como por exemplo densidade, e como calculá-la. Em sua opinião, por que muitos parecem não fazer essa busca? Ou será que fazem?

3) As atividades vinculadas a fatos concretos e históricos contribuíram de alguma maneira em seu interesse para com a geometria e/ou Matemática?

4) A atividade extraclasse, veiculada na internet, facilita a aprendizagem?

5) Desenvolva um pequeno texto sobre o seu sentimento perante o trabalho efetuado. Considere a motivação, estrutura do trabalho, dificuldades e a contribuição para a sua aprendizagem como um todo. Expresse também a sua opinião sobre os seguintes itens: a) atividades envolvendo a história da matemática; b) o desenvolvimento de questões práticas; c) o uso da internet como ferramenta auxiliar no desenvolvimento escolar. Fique a vontade para dar qualquer outro comentário além dos referidos.

Um grande abraço,

Mauro Weigel

ATIVIDADE 1.

A imagem apresentada a seguir mostra a Grande Pirâmide e o comprimento de sua aresta da base.

Fig.28 Aresta da base de Quéops. Fonte: Google Earth.

a) Determine, a partir da inclinação da face lateral fornecida no texto, a sua altura original aproximada (valor inteiro) e "exata" (com duas casas após a vírgula). Se quiser uma dica...

b) A altura por você calculada no item a) está de acordo com a medida fornecida pelo texto?

c) Na Wikipédia a medida é diferente? O que você conclui sobre as informações apresentadas na Wikipédia em confronto com seus cálculos matemáticos?

d) Sabendo que a densidade da rocha calcária utilizada na construção da pirâmide é de aproximadamente de 2500 kg/m³, calcule a massa total da pirâmide.

ATIVIDADE 2.

A foto de satélite abaixo, extraída do Google Earth, mostra o prolongamento das diagonais da Grande Pirâmide, limitando o Delta do Nilo como um setor circular. De acordo com a escala apresentada pela imagem, determine o perímetro e a área total do delta.

Fig.7 Delta do Nilo e as diagonais da pirâmide.

ATIVIDADE 3.

Conta-nos a história que Tales de Mileto, ao se deparar com a Grande Pirâmide, ficou fascinado e obcecado por determinar sua altura. Uma das versões desta história (de Hicrônimos, discípulo de Aristóteles) diz que Tales determinou a medida do comprimento da sombra da Grande Pirâmide no exato momento em que a sombra de um bastão, colocado num ângulo de 90° com o solo, formava uma sombra de mesmo comprimento deste. Somando então a sombra da pirâmide com a metade do comprimento de sua aresta da base, sabia que essa medida era equivalente à altura da pirâmide.

Veja a seguinte ilustração:

Fig.10 Sombra do bastão e da Grande Pirâmide, Onde: A = B e C = D

A partir da ideia de Tales e munido de uma trena ou fita métrica, faça medições semelhantes em seu bairro. Meça a altura de alguns alvos a partir de sua sombra. Registe, se possível, uma fotografia do alvo. Anote os dados observados, tais como o comprimento da sombra, a descrição do alvo em questão e o horário de observação. Depois responda as seguintes perguntas:

a) Qual foi a maior dificuldade ao empregar esse método?

b) Em que horário a sombra do alvo teve a mesma medida de sua altura?

c) Esse horário muda com o passar dos dias?

d) A semelhança de triângulos pode ser aplicada para simplificar esse método? Explique.

ATIVIDADE 4.

Observando a foto de satélite abaixo, podemos extrair algumas medidas aproximadas.

Fig. 03 Medidas da Pirâmide de Djoser. Foto extraída do Google Earth.

Responda as seguintes questões com base nos dados da figura 3.

a) Em função da base da pirâmide de Djoser não ser quadrangular, suas faces laterais têm inclinações distintas. Admitindo que a base de cada “degrau” da pirâmide, com exceção do último que é a base superior, tenha 7m de largura, determine o valor aproximado das inclinações das faces sul e leste.

b) Admitindo que cada mastaba da pirâmide escalonada tenha uma altura de 10m, qual o volume da mastaba inferior da pirâmide?

ATIVIDADE 5.

a) A pirâmide de Quéops levou muito tempo para ser concluída. De acordo com o texto, quantos blocos de pedra devem ter sido transportados por dia para a conclusão da obra no tempo informado?

b) O que você infere a partir desses resultados?

ATIVIDADE 6.

Volume da esfera
Para a determinação do volume da esfera em função do seu raio vamos impor uma hipótese.
Hipótese: o volume da esfera de raio r é igual ao volume da anticlépsidra de altura 2r.

Fig.2  Esfera, clépsidra e anticlépsidra

A clépsidra (ampulheta) é obtida pela ligação de dois cones pelos respectivos vértices, ficando suas bases paralelas uma em relação a outra.

A anticlépsidra é o sólido resultante da diferença entre um cilindro equilátero e a clépsidra (ampulheta) inscrita nele.

Se a hipótese for verdadeira, então o volume da esfera é dado pela diferença entre o volume do cilindro e o volume da ampulheta.

Hipótese:    Vesfera = Vcilindro - Vampulheta

a) Para provar nossa hipótese basta provar que o plano secante (Fig.3) à esfera e à anticlépsidra, gera secções transversais (indivisíveis) com áreas iguais nos dois sólidos. Ou seja: a área do círculo (secção esférica) é igual a área da coroa circular (secção da anticlépsidra). Feito isso, estamos amparados pelo 2° princípio de Cavalieri e provamos que os volumes são iguais. Se quiser uma dica ...

Fig.3 Plano secante à esfera e à anticlépsidra.
Imagem extraída de http://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/12/o-principio-de-cavalieri.html

b) Sabendo que a hipótese é verdadeira, mostre a fórmula do volume da esfera em função do seu raio r.

COINCIDÊNCIA OU CIÊNCIA I

Muitos textos destacam que o perímetro da base da Grande Pirâmide é igual ao comprimento de uma circunferência de raio equivalente a sua altura e que isso foi premeditado por seus construtores.

a) Qual o perímetro da base da Grande Pirâmide?

b) Qual a medida do raio em questão?

c) Comparando o raio obtido com a altura informada no texto, qual a margem percentual de erro?
d) Na sua opinião e embasado por seus cálculos, você acredita que essa medida foi intencional? Justifique.

COINCIDÊNCIA OU CIÊNCIA II

Acredita-se que a inclinação das faces laterais da Grande Pirâmide tenha sido escolhida para que contivesse a proporção áurea.

Diz-se que o número de ouro está na razão entre o apótema da pirâmide (x) e a metade da aresta da base (y).

a) Verifique a relação e veja em quantas casas após a vírgula o resultado está de acordo.

b) Registre seu comentário sobre o fato ser uma coincidência ou ciência.

COINCIDÊNCIA OU CIÊNCIA III

O historiador grego Heródoto teria afirmado que na pirâmide de Quéops a área de um quadrado de lado igual a medida da altura da pirâmide é igual a área de uma de suas faces laterais.

a) Verifique matematicamente a afirmação de Heródoto.

b) O que conclui? É coincidência ou ciência?

COINCIDÊNCIA OU CIÊNCIA IV

Na época de Arquimedes, nascido em 287 a.C., já se sabia que o perímetro de uma circunferência era proporcional a seu diâmetro, no entanto desconhecia-se o coeficiente de proporcionalidade (hoje designado pela letra pi). O papiro de Rhind, escrito por volta de 1650 a.C., contém uma aproximação notável para seu valor: 3,1605.

Acredita-se porém, que os construtores da Grande Pirâmide tinham o conhecimento de seu valor exato, deixando-o implícito nas medidas da pirâmide, para ser visto pela posteridade. O valor de pi aparece quando dividimos o perímetro da base da pirâmide pelo dobro de sua altura.

a) Verifique essa afirmação e calcule a margem percentual de erro obtida no seu cálculo e na informação contida no papiro de Rhind. (O valor aproximado de pi é 3,1416)

COINCIDÊNCIA OU CIÊNCIA V

O astrônomo Johannes Kepler (1571 - 1630) observou que a pirâmide de Quéops apresenta a seguinte relação:

Esse cálculo é um reenunciado da lei da divina proporção, portanto a Grande Pirâmide é considerada uma pirâmide áurea.

Verifique se a relação faz sentido e posicione-se a respeito do fato ser uma coincidência ou um resultado proposital por parte dos construtores da pirâmide.

Dica 1

O texto informa a inclinação da face lateral, portanto, podemos aplicar a relação de tangente no triângulo retângulo e determinar a altura. Para uma medida aproximada use a tabela de tangentes, mas para uma medida mais acurada você deverá utilizar uma calculadora científica. 

Dica 2

Substitua a variável s por sua equivalência em função de r e h, obtida pelo Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo visto na esfera (Fig.4).

Fig.04 - Plano secante à esfera e à anticlépsidra