AS PIRÂMIDES DO EGITO

Envoltas em mistérios, lendas e inúmeras especulações sobre seu verdadeiro significado e como foram construídas, as pirâmides egípcias intrigam as mentes humanas há milênios. Não há como precisar tais dados, no entanto diversas coincidências relacionando astronomia, física e matemática, nos levam a crer que seus construtores dominavam esses campos do saber tanto quanto nos dias atuais. Não os construtores de todas as pirâmides, mas provavelmente os da mais fantástica dessas obras, que parece exorar por uma avaliação científica: a Grande Pirâmide, da qual as impressionantes medidas são o aval para a espantosa ciência envolvida.

Uma das funções desses magníficos monumentos foi certamente a de servir como túmulo aos faraós, no entanto , dizer que essa foi a única função das pirâmides parece improvável. Se tomarmos o período de um século transcorrido entre a III e IV Dinastias veremos que as pirâmides erguidas nessa época¹ são mais numerosas que os soberanos.
O “poder das pirâmides” de conservar alimentos, manter o fio de lâminas de barbear e tardar o envelhecimento, tem se mantido como uma forte cultura popular ao longo dos séculos, no entanto, não há prova científica de quaisquer dessas faculdades nas pirâmides.
O Egito abriga em torno de 80 pirâmides, algumas reduzidas atualmente a montes de pedras, outras apenas corroídas pela erosão. Algumas são estruturas colossais, enquanto outras, relativamente ínfimas. Mas o complexo piramidal mais intrigante é sem dúvida o do planalto de Gizé.
Gizé está localizada na margem esquerda do rio Nilo e faz fronteira com a capital, Cairo. É mundialmente conhecida por conter a única das Sete maravilhas do mundo antigo ainda conservada: as pirâmides de Quéops, Quéfren e Miquerinos.
As especulações sobre a verdadeira data de construção desses monumentos são extremamente variadas. É possível, com uma pesquisa rápida em alguns livros ou mesmo via web, encontrarmos variações entre 72.000 e 2.500 anos a.C.
Em 1995 uma pesquisa realizada por membros do David H. Kochs Pyramids Radiocarbon Project, colocou um fim às especulações em torno da data de construção das pirâmides no vale de Gizé. A partir de minúsculos fragmentos do material usado como argamassa entre os blocos das pirâmides, os cientistas fizeram diversos testes para verificar os níveis de atividade do carbono 14 (C14). (A meia-vida do C14 é 5715 anos, o que significa que passado esse período de tempo sua atividade se reduz à metade da original.) Assim, determinaram que todo o complexo de Gizé foi erguido entre 2589 e 2504 a.C., ou seja, ao longo de 85 anos.

¹As primeiras pirâmides erguidas foram: 1ª - A pirâmide escalonada de Djoser (em Saqqara), 2ª - A pirâmide ruída (em Meidum), 3ª - A pirâmide torta (em Dashur), 4ª - A pirâmide vermelha (em Dashur), 5ª - A pirâmide de Quéops (em Gizé), 6ª - A pirâmide de Quéfren (em Gizé) e 7ª - A pirâmide de Miquerinos (em Gizé).

A pirâmide de Quéops

A pirâmide de Quéops, também conhecida como a Grande Pirâmide, foi construída por volta de 2.600 a.C. para ser a tumba do Faraó Quéops ou Khufu. Sua altura original era de 146,59 metros, mas atualmente é de 137,19 m, pois falta parte do seu topo e o revestimento. A inclinação das faces, em relação ao plano da base é de 51°51’14,3’’, o que pode ser observado na réplica do revestimento externo, colocado em parte da base da pirâmide (Fig.1).

Fig.1 Revestimento externo

A estrutura cobre uma área de 53 mil metros quadrados e contém aproximadamente 2.300.000 blocos de pedras com, em média, 2,5 toneladas cada um. Levou cerca de 30 anos para ser concluída, envolvendo um exército de 100.000 trabalhadores. Muitos estudiosos acreditam que essa mão de obra era inteiramente escrava. No entanto, essa hipótese parece um tanto improvável, pois para manter na linha esse número de cativos talvez fosse necessária a força de 20 mil soldados; sem contar a alimentação de toda essa gente. (ATALAY, 2007).

Assim como nas outras pirâmides de Gizé, a de Quéops orienta os quatro pontos cardeais, limitando ainda o Delta do Nilo geometricamente com o prolongamento das duas diagonais (Fig.2 e 3) e dividindo-o em duas partes iguais com o prolongamento do apótema da pirâmide em sua face norte. (Fig.4)

Fig.2 Pirâmide de Quéops com prolongamento das diagonais.

Fig.3 Pirâmide de Quéops com prolongamento das diagonais.

Fig.4 Prolongamento das diagonais e do apótema da pirâmide.¹

A simples orientação dos pontos cardeais pelas faces da Pirâmide já mostra uma impressionante perícia de astronomia, uma vez que até mesmo nos tempos atuais, com toda a tecnologia disponível, essa tarefa não é de fácil execução. É verdade que essa orientação possui um pequeno erro, mas algumas hipóteses sugerem que esse erro se deva a um movimento de placas tectônicas.


É possível encontrar as mais variadas teorias sobre as pirâmides do Egito, em especial sobre a Grande Pirâmide; seja na internet, programas televisivos ou em bons livros de História. Tudo isso pelo simples fato de que muita coisa não pode ser provada cientificamente. No entanto, não se podem negar as incríveis coincidências contidas nesse monumento.


Um fato não comprovado, mas no mínimo curioso, é a unidade de medida utilizada pelos construtores da Grande Pirâmide. Alguns estudiosos crêem que suas medidas estejam relacionadas às dimensões da Terra e que a unidade de medida empregada foi a polegada do diâmetro polar (p dp). Essa polegada difere em apenas um fio de cabelo da polegada usual, equivalente a 2,54 cm. O astrônomo britânico John Herschel, percebeu que a polegada utilizada na Pirâmide (p dp) é equivalente à razão entre o diâmetro polar (eixo de rotação da Terra) e 50.000.000, o que pode indicar o conhecimento da medida do diâmetro polar exato pelos construtores da Grande Pirâmide. (apud VALENTINE, 1975, p. 60)

Muitas medidas da Grande Pirâmide parecem estar vinculadas às reais medidas da Terra e do próprio Sistema Solar. Como se seus construtores quisessem dizer à posteridade que possuíam tal conhecimento. Para citar outro exemplo, sua altura pode ter sido escolhida por representar quase que exatamente a distância da Terra ao Sol no periélio, se multiplicada por um bilhão. A precisão é realmente impressionante, no entanto parece improvável que a humanidade detivesse tal conhecimento àquela época. Mas não há como negar a intriga de tais medidas nem tampouco a precisão goniométrica de toda a obra, o que obriga a necessidade de instrumentos ópticos extremamente avançados. Mas nenhum vestígio de tais instrumentos foi até hoje encontrado, tudo isso permanecendo um profundo mistério.

Medidas da Pirâmide de Quéops.²

Área total: 53.000 m² de superfície da base.

Altura Original: 146,59 m

Aresta da base norte: 230,253 m

Aresta da base sul: 230,454 m

Aresta da base leste: 230,391 m

Aresta da base oeste: 230,357 m

Desvios das arestas da base em relação aos pontos cardeais:

Aresta norte: 2’28’’

Aresta sul: 1’57’’

Aresta leste: 5’30’’

Aresta oeste: 2’30’’

Medidas dos quatro ângulos internos da base

Vértice nordeste: 90°3’2’’

Vértice noroeste: 89°56’58’’

Vértice sudeste: 89°56’27’’

Vértice sudoeste: 90°0’33’’

¹ Crédito das imagens das figuras 2, 3 e 4: Google Earth.
² ARAÚJO, L. M. de. Egipto: As pirâmides do império antigo. Lisboa: Colibri, 1992.

REFERÊNCIAS
ATALAY, B. A matemática e a Mona Lisa. São Paulo: Mercuryo, 2007.
VALENTINE, T. A Grande Pirâmide. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1976. 

Pirâmide - definição

De acordo com Dolce e Pompeo (2004), uma pirâmide pode ser definida como segue:

Consideremos um polígono convexo ABC...MN situado num plano e um ponto V fora de . Chamna-se pirâmide à reunião dos segmentos com uma extremidade em V e a outra nos pontos do polígono. V é o vértice e o polígo-no ABC...MN, a base da pirâmide. (p. 186)

Tronco de Pirâmide

Seccionando uma pirâmide por um plano paralelo à base, obtemos dois novos sólidos:

● o sólido que contém o vértice da pirâmide é uma nova pirâmide, semelhante à anterior;

● o sólido que contém a base da pirâmide é um tronco de pirâmide.

Mastaba

Nas pirâmides egípcias, as mastabas são cômodos construídos acima da câmara mortuária, os quais possuem uma porta falsa que dá acesso a uma éstátua do finado. Na forma de um tronco de pirâmide, têm em média 6m de altura. Possuem um poço para acessar a câmara mortuária, que fica alguns metros abaixo do nível da mastaba.

Começaram a ser construídas desde a primeira dinastia (cerca de 3550 a.C.) precedendo e dando característica às pirâmides.

As pirâmides escalonadas

A pirâmide escalonada de Sacara, construída para o faraó Djoser, é provavelmente a estrutura em pedra talhada mais antiga erguida pelo homem (cerca de 2.630 a.C.) e foi, portanto, a primeira pirâmide erguida no Egito. Possui um total de seis “degraus”, com alturas aproximadamente iguais, os quais podem ser considerados troncos de pirâmides, perfazendo um total de 61m de altura. Cada um desses degraus foi originalmente construído para ser uma mastaba.

Sua estrutura, diferentemente das clássicas pirâmides de Gizé, não possui base quadrada. Suas arestas da base formam um retângulo de 122 por 107m.

Fig.2  Pirâmide escalonada de Djoser

Pitágoras de Samos

Pitágoras nasceu na ilha jônia de Samos, e conjectura-se que tenha vivido entre 586 a.C. e 500 a.C. Era um profeta, um místico, e sua história foi envolta de lenda e apoteose. De suas muitas peregrinações passou pelo Egito, Babilônia e possivelmente pela Índia, assimilando, além de muitas ideias matemáticas e astronômicas, outras tantas religiosas, até porque foi contemporâneo de Buda, Confúcio e Lao-Tse. Em seu retorno ao mundo grego, estabeleceu-se em Crotona, na então chamada Magna Grécia, o que hoje é o sudeste da Itália. Lá fundou uma sociedade secreta conhecida como escola pitagórica; algo semelhante a um culto órfico, não fosse por suas bases matemáticas e filosóficas. Para os pitagóricos a matemática tinha muito mais sentido em razão do amor pela sabedoria do que por sua aplicabilidade prática.

Fig.17 Ilha de Samos. Fonte: Google Earth.

Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras talvez seja, de todas as ciências exatas, o teorema mais citado ao longo do ensino fundamental e médio. Ele diz que, em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual a soma do quadrado dos catetos; podendo ser traduzido algebricamente como:

c²=a²+b²

Esse famoso teorema tem um sem número de demonstrações, mas uma delas é particularmente muito simples.

Fig.18 Teorema de Pitágoras

Teorema:

Seja o quadrado EFGH, inscrito no quadrado ABCD, conforme Fig.18. Os quatro triângulos formados pela inscrição são idênticos e a soma dos ângulos alfa e beta vale 90°. Sabemos também que a área ABCD é igual a área EFGH mais quatro vezes a área AGH.

Em notação matemática temos:

O que era preciso provar.

Tabela: sen, cos e tan

Esfera

A noção de esfera nos é intuitiva, pois faz parte do vocabulário coloquial. O próprio dicionário Aurélio chega a definí-la como globo ou bola.

Matematicamente a definição de esfera é formalizada, segundo Dolce e Pompeo (1993) como segue:

Consideremos um ponto O e um segmento de medida r. Chama-se esfera de centro O e raio r ao conjunto dos pontos P do espaço, tais que a distância OP seja igual ou menor que r.

A esfera é também o sólido de revolução gerado pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro. (p. 250)

Fig. 1 Esfera / Hemisfério

Clépsidra e anticlépsidra

A clépsidra (ampulheta) é obtida pela ligação de dois cones pelos respectivos vértices, ficando suas bases paralelas uma em relação a outra. Sua altura é equivalente ao diâmetro da esfera.

A anticlépsidra é o sólido resultante da subtração da clépsidra (ampulheta) de um cilindro equilátero que a circunscreve. Na Fig.19, a anticlépsidra está na cor azul.

Fig.19  Esfera, clépsidra e anticlépsidra

Retângulo

É classificado retângulo, todo quadrilátero que possui os ângulos internos iguais. Como a soma desses equivale a 360° (2x180°), tem-se nos retângulos um total de quatro ângulos retos (90°).

Fig.7  Retângulos

Circunferência e Círculo

De acordo com o dicionálio Aurélio, suas definições são as que seguem:

Círculo: “região de um plano limitada por uma circunferência.”

O círculo é também chamado de disco, por possuir uma área circular.

A área do círculo de raio r é dada por

Circunferência: “lugar geométrico dos pontos de um plano eqüidistantes dum ponto fixo.”

Ou seja, a circunferência de raio r é o perímetro de um círculo e a fórmula para determinar seu comprimento é

Observação:

Cilindro Equilátero

Todo cilindro circular reto que possui altura equivalente ao diâmetro da base é classificado como equilátero.

Fig.6 Cilindro equilátero

Bonaventura Cavalieri

Bonaventura Cavalieri nasceu na Itália, mais precisamente na cidade de Milão em 1598. Foi aluno de Galileu e professor de matemática na Universidade de Bolonha de 1629 até a sua morte no ano de 1647. Em seu legado, diversas obras contemplando matemática, óptica e astronomia nos foram deixadas. Foi um dos responsáveis pela divulgação dos logaritmos na Europa, tornando-o um matemático muito influente. Sua obra mais expressiva e de grande contribuição à matemática é o tratado Geometria Indivisibilibus, no qual ele apresenta seu método dos indivisíveis.

Em seu método, Cavalieri afirma que um indivisível de uma figura plana é um segmento de reta contido nessa figura e que um indivisível de um sólido qualquer é a secção desse sólido.

Fig.5 Os indivisíveis de Cavalieri

No retângulo acima percebemos que sua área equivale a  m.g . Ao “distorcermos” esse retângulo, geramos uma nova figura, porém de mesma área, pois é formada pelos mesmos infinitos segmentos g (indivisíveis) do retângulo.
Já na “pilha de tijolos” (Fig.5), percebemos que ambas possuem o mesmo volume, uma vez que são compostas pelos mesmos indivisíveis (tijolos).

Segundo Eves (2004), os princípios de Cavalieri são assim enunciados:

1. Se duas porções planas são tais que toda reta secante a elas e paralela a uma reta dada determina nas porções segmentos de reta cuja razão é constante, então a razão entre as áreas dessas porções é a mesma constante.

2. Se dois sólidos são tais que todo plano secante a eles e paralelo a um plano dado determina nos sólidos secções cuja razão é constante, então a razão entre os volumes desses sólidos é a mesma constante. (p. 426)