Volume da esfera
Para a determinação do volume da esfera em função do seu raio vamos impor uma hipótese.
Hipótese: o volume da esfera de raio r é igual ao volume da anticlépsidra de altura 2r.
b) Sabendo que a hipótese é verdadeira, mostre a fórmula do volume da esfera em função do seu raio r.
Para a determinação do volume da esfera em função do seu raio vamos impor uma hipótese.
Hipótese: o volume da esfera de raio r é igual ao volume da anticlépsidra de altura 2r.
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| Fig.2 Esfera, clépsidra e anticlépsidra |
A clépsidra (ampulheta) é obtida pela ligação de dois cones pelos respectivos vértices, ficando suas bases paralelas uma em relação a outra.
A anticlépsidra é o sólido resultante da diferença entre um cilindro equilátero e a clépsidra (ampulheta) inscrita nele.
Se a hipótese for verdadeira, então o volume da esfera é dado pela diferença entre o volume do cilindro e o volume da ampulheta.
Hipótese: Vesfera = Vcilindro - Vampulheta
a) Para provar nossa hipótese basta provar que o plano secante (Fig.3) à esfera e à anticlépsidra, gera secções transversais (indivisíveis) com áreas iguais nos dois sólidos. Ou seja: a área do círculo (secção esférica) é igual a área da coroa circular (secção da anticlépsidra). Feito isso, estamos amparados pelo 2° princípio de Cavalieri e provamos que os volumes são iguais. Se quiser uma dica ...
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| Fig.3 Plano secante à esfera e à anticlépsidra. Imagem extraída de http://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/12/o-principio-de-cavalieri.html |
Assyria Bugs e Raphael Borges - 2Cº
ResponderExcluir(PI)R².h - 2.((PI)R².h/2.1/3) e considerando que h = 2.R , encontramos a fórmla do volume:
4/3(PI)R³
a) não entendi a pergunta.
ResponderExcluirb)V.esfera=piR².h-piR².h/3= piR²x2R-piR²x2R/3= piR³6/3-2piR³/3= V.esfera= 4piR³/3
Gabriel Negruni 2ºC
Vesfera = πR².2R - 2(πR².2R/2/3)
ResponderExcluirVesfera = 4πR³/3
obs: R = h/2
b) πr².2r - 2.(πr².r.1/3)
ResponderExcluir2πr³ - 2πr³/3
6πr³/3 - 2πr³/3
4πr³/3
Volume da esfera
ResponderExcluirπR².2R - 2.(πR².R.1/3)
2πR³ - 2πR³/3
6πR³/3 - 2πR³/3
4πR³/3
a) s²=r²-h²
ResponderExcluirA=π.s²
A=(r²-h²)π
Acoroa=π.r²-π.h²
Acoroa=(r²-h²)π
b)4/3πR³
Bruna Lersch 2°B
ResponderExcluirA) ESFERA:
Usando pitágoras -> r²=h²+s²
-para descobrir a área da secção é necessário conhecer o raio (s), para isso, temos que:
s²=r²-h²
S(secção esférica)= πs²
S= π(r²-h²)
COROA CIRCULAR:
-Para caucuçar a área da coroa circular temos que diminuir a área do circulo menor da área da secção toda:
S(coroa circular)= πr² - πh²
Colocando o (PI) em evidencia, temos:
π(r²-h²)
Dessa forma:
S(secção esférica) = S(coroa circular)
B) V(esfera) = V(anticlépsidra)
V(esfera) = V(cilindro) - V(ampulheta)
V(esfera) = πr².h - 2(πr².h/3)
Temos que h=2r, ou seja, a "h" de cada cone que forma a anticlépsidra é "r".
V(esfera) = πr².2r - 2(πr².r/3)
V(esfera) =(6πr³ - 2πr³)/3
V(esfera) = 4πr³/3
Vesfera = πR².2R - 2.(πR².R.1/3)
ResponderExcluirVesfera = 2πR³ - 2πR³/3
Vesfera = 6πR³/3 - 2πR³/3
Vesfera = 4πR³/3
Jade Girardi - 2C
Com a multiplicação de πR².h-2.(πR².h/2.1/3) e sabendo que a altura é igual duas vezes o raio achei a fórmula do volume que é 4/3πR³. O senhor quando ficou estressado com a nossa turma nos deu isso em aula :) ajudo pra alguma coisa.
ResponderExcluirO outro eu não sei ;/
João Mario C. Curi A. Spim - 2ºC
Ve = πR².2R - 2.(πR².R.1/3)
ResponderExcluir2πR³ - 2πR³/3
6πR³/3 - 2πR³/3
4πR³/3
Assim saí a formula que nós usamos do volume da esfera.
a) área da coroa circular = πr²-πh² = π(r² - h²)
ResponderExcluirárea do circulo = πx² -> x² = r² - h² -> π(r²-h²)
logo a área dos dois é igual, e o volume também então concluimos que o volume da esfera é igual o volume do de um cilindro - 2.volume de 2 cones.
b) volume da esfera:
Vesfera = Vcilindro - Vamoulheta
Vesfera = πr²(2r) - 2(πr².r)/3
Vesfera = 2πr³ - 2πr³/3
Vesfera = 6πr²/3 - 2(πr³)/3
Vesfera = 4πr³/3
Marcelle Sampaio e Cristina Schiavi 2ºC JPZN
Volume da esfera
ResponderExcluirπR².2R - 2.(πR².R.1/3)
2πR³ - 2πR³/3
6πR³/3 - 2πR³/3
4πR³/3
Thiago Gomes 2ºB
Vesfera = πR².2R - 2.(πR².R.1/3)
ResponderExcluirVesfera = 2πR³ - 2πR³/3
Vesfera = 6πR³/3 - 2πR³/3
Vesfera = 4πR³/3
Helioir Júnior 2ºB
Vesfera = πR².2R - 2.(πR².R.1/3)
ResponderExcluirVesfera = 2πR³ - 2πR³/3
Vesfera = 6πR³/3 - 2πR³/3
Vesfera = 4πR³/3
Diego Valente e Lucas Pereira 2ºB
eu sei q me identifiquei como anonimo mas todos vao fazer uma ideia de quem eu sou, pq eu quero dizer que eu amo muito o lucas pereira. lucas eu te amo e estou mais perto do q vc imagina meu amor...
ResponderExcluirIsadora de Abreu 2ºA
ResponderExcluirA)s²=r²-h²
Pi(R²-h²)
B) V=4PiR³/3
a) não entendemos
ResponderExcluirb) πr².2r - 2.(πr².r.1/3)
2πr³ - 2πr³/3
6πr³/3 - 2πr³/3
4πr³/3
Víctor Ribas e Tobias Chesini 2ºB
ba sor na boa essa dai eu nem tentei, esses calculos ai me apavoraram...
ResponderExcluirisadora riboli 2ºB
a) não compreendemos a pergunta.
ResponderExcluirb) 4πr³/3
Julia Cupertino (2A) e Mariana Ongaratto (2B)
GABRIELLE LEMOS 2A
ResponderExcluirA)s²=r²-h²
Pi(R²-h²)
B) V=4PiR³/3
Lucas Fagundes 2A
ResponderExcluira) usando R=h/2 como o João fez, pR².2R - 2(pR².2R/2/3)
Volume da Esfera fica nesta formula : 4pR³/3
A)USANDO R=H SOBRE 2,πR².2R-2(πR².2R/2/3)
ResponderExcluirB) 4πR³ SOBRE3
André 2ºC
ResponderExcluira) tu pediu pra faze alguma coisa no "a".se pediu eu não entendi.
b) πr².2r - 2.(πr².r.1/3); 2πr³ - 2πr³/3; 6πr³/3 - 2πr³/3; 4πr³/3
a)Não sei
ResponderExcluirb)4πr³/3
b)Volume da esfera = πr².2r - 2(πr².2r/2/3)
ResponderExcluirVolume da esfera = 2πr³ - 2πr³/3
Volume da esfera = 4πr³/3
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ResponderExcluirnão rolou
Eduardo Vontobel 2A
πR².h - 2.(πR².h/2.1/3) e considerando que h = 2R , encontramos a fórmula usual do volume da esfera, que é 4/3πR³
ResponderExcluirV = πR².2R - 2.(πR².R.1/3)
V = 2πR³ - 2πR³/3
V = 6πR³/3 - 2πR³/3
V da esfera = 4πR³/3
Isadora S. Pasini 2ºC
BETINA BURILLE E LUCIANO VICTORINO 2A
ResponderExcluira) r²= h²+s²
s²= r²-h²
s = raio
então:
S(secção)= πs²
S(secção)= π(r²-h²)
S(coroa circular)= πr²-πh²
S(coroa circular) π(r²-h²)
ou seja:
S(secção esferica) = S(coroa circular)
BETINA BURILLE E LUCIANO VICTORINO 2A
ResponderExcluirb) V(esfera) =4πr/3
Olá Mauro,
ResponderExcluirVi que você utilizou uma imagem do meu blog:
http://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/12/o-principio-de-cavalieri.html
Não me importe que a use, mas cite a fonte por gentileza.
Ok.Obrigado
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